Question

19．已知等比数列{a_n}前n项和满足S_n=1-A•3ⁿ，数列{b_n}是递增数列，且b_n=An²+Bn，则A=1，B的取值范围为（-3，+∞）．

Answer 1

分析 由等比数列{a_n}前n项和满足S_n=1-A•3ⁿ，分别求出前三项，利用等比数列{a_n}中${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，能求出A．根据数列{b_n}是递增数列，且b_n=An²+Bn=n²+Bn，利用b_n+1-b_n＞0，能求出B的取值范围．

解答 解：∵等比数列{a_n}前n项和满足S_n=1-A•3ⁿ，
∴a₁=S₁=1-3A，
a₂=S₂-S₁=（1-9A）-（1-3A）=-6A，
a₃=S₃-S₂=（1-27A）-（1-9A）=-18A，
∵等比数列{a_n}中${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，
∴36A²=（1-3A）（-18A），
解得A=1或A=0（舍），故A=1．
∵数列{b_n}是递增数列，且b_n=An²+Bn=n²+Bn，
∴b_n+1-b_n=（n+1）²+B（n+1）-（n²+Bn）=2n+1+B＞0．
∴B＞-2n-1，
∵n∈N^*，∴B＞-3．
∴B的取值范围为（-3，+∞）．
故答案为：1，（-3，+∞）．

点评 本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、递增数列的性质的合理运用．