Question

设直线l：2x+y+2=0关于原点对称的直线为L′，若L′与椭圆x2+

y2

4

=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为

2

-1的点P的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：取直线l：2x+y+2=0的两点：（-1，0），（0，-2）．求出此两点关于原点对称的点，此两点在直线L′上，即可得到直线L′的方程．与椭圆方程联立解得A，B的坐标．即可得到|AB|．设P（cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π）．利用点到直线的距离公式可得：点P到直线L′的距离d．利用S△PAB=

1

2

|AB|•d=

2

-1，解出θ值的个数即可．

解答：解：取直线l：2x+y+2=0的两点：（-1，0），（0，-2）．则此两点关于原点对称的点分别为（1，0），（0，2）．此两点在直线L′上，因此直线L′的方程为：

x

1

+

y

2

=1，即2x+y-2=0．
联立

2x+y-2=0 x2+ y2 4 =1

，解得

x=1 y=0

或

x=0 y=2

．
取A（1，0），B（0，2），|AB|=

1+22

=

5

．
设P（cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π）．
则点P到直线L′的距离d=

|2cosθ+2sinθ-2|

5

．
∴S△PAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

5

×

|2cosθ+2sinθ-2|

5

=

2

-1．
化为|

2

sin(θ+

π

4

)-1|=

2

-1，
∴

2

sin(θ+

π

4

)-1=

2

-1或

2

sin(θ+

π

4

)-1=-(

2

-1)，
∴sin(θ+

π

4

)=1或sin(θ+

π

4

)=

2

-1．
∵θ∈[0，2π），∴(θ+

π

4

)∈[

π

4

，

9π

4

)．
∴θ=

π

4

或θ+

π

4

=arcsin(

2

-1)或θ+

π

4

=π-arcsin(

2

-1)，
因此存在三个点P使△PAB的面积为

2

-1．
故选C．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程组的解、弦长公式、三角形的面积公式、点到直线的距离公式、椭圆的参数方程、中心对称等基础知识与基本技能方法，属于难题．