Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+

π

6

）（x∈R）（A，ω＞0）的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（3α+π）=

16

5

，f（3β+

5π

2

）=-

20

13

；求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）依题意，易求ω=

1

3

，A=4，于是可得函数y=f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性可求其单调递增区间；
（2）依题意，可依次求得cosα=

4

5

，sinβ=

5

13

，cosβ=

12

13

，利用两角差的余弦计算即可．

解答：解：（1）依题意得ω=

2π

T

=

2π

6π

=

1

3

，
∴f（x）=Asin（

1

3

x+

π

6

）；
由f（2π）=2得Asin（

2π

3

+

π

6

）=2，即Asin

5π

6

=2，
∴A=4，
∴f（x）=4sin（

x

3

+

π

6

）；
由2kπ-

π

2

≤

x

3

+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：6kπ-2π≤x≤6kπ+π（k∈Z），
∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[6kπ-2π，6kπ+π]（k∈Z）；
（2）由f（3α+π）=

16

5

得，4sin[

1

3

（3α+π）+

π

6

]=

16

5

，即4sin（α+

π

2

）=

16

5

，
∴cosα=

4

5

，
又∵α∈[0，

π

2

]，
∴sinα=

3

5

；
由f（3β+

5π

2

）=-

20

13

得4sin[

1

3

（3β+

5π

2

）+

π

6

]=-

20

13

，即sin（β+π）=-

5

13

，
∴sinβ=

5

13

，
又∵β∈[0，

π

2

]，
∴cosβ=

12

13

，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

×

12

13

+

3

5

×

5

13

=

63

65

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换，着重考查正弦函数的单调性与三角函数的化简求值，考查综合运算能力，属于中档题．