Question

【题目】已知数列{an}满足： + +…+ = （n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=anan+1 ， Sn为数列{bn}的前n项和，对于任意的正整数n，Sn＞2λ﹣ 恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，当n=1时， ，则a1=2，

当n≥2时， ，

则 ，

两式相减得， = ，即an= ，

当n=1时，也符合上式，则an=

（2）解：由（1）得，bn=anan+1=

= =2（ ），

所以Sn=2[（1﹣ ）+（ ）+（ ）…+（ ）]

=2（1﹣ ），

则n越大， 越小，Sn越大，

即当n=1时，Sn最小为S1= ，

因为对于任意的正整数n，Sn＞2λ﹣ 恒成立，

所以 ＞2λ﹣ ，解得 ，

故实数λ的取值范围是（﹣∞， ）

【解析】（1）由题意和数列前n项和与通项公式的关系式，求出 ，即可求出an；（2）把an代入bn=anan+1化简，利用裂项相消法求出Sn，根据数列的单调性求出Sn的最小值，由恒成立的条件列出不等式，求出实数λ的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．