Question

【题目】函数f（x）＝xlnx－a（x－1）2－x，g（x）＝lnx－2a（x－1），其中常数a∈R．
（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）有两个零点x1 ， x2（x1＜x2），求证：在区间（1，＋∞）上存在f（x）的极值点x0 ， 使得x0lnx0＋lnx0－2x0＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：函数g（x）的定义域为（0，＋∞），导函数为 ．

①当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，g（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数；

②当a＞0时， ，并且，

在区间（0， ）上，g′（x）＞0，∴g（x）在（0， ）是增函数；

在区间（ ，＋∞）上，g′（x）＜0，∴g（x）在区间（ ，＋∞）上是减函数．

（Ⅱ）证明：当a＞0时，在区间（0，1]上，f（x）＜0是显然的，即在此区间上f（x）没有零点；又由于f（x）有两个零点，则必然f（x）在区间（1，＋∞）上有两个零点x1，x2（x1＜x2），

f′（x）＝lnx－2a（x－1），由（Ⅰ）知，f′（x）在区间（0， ）上是增函数，在区间（ ，＋∞）上是减函数．

①若 ，则 ，在区间（1，＋∞）上，f′（x）是减函数，f′（x）≤f′（1）＝0，f（x）在（1，＋∞）上单调递减，不可能有两个零点，所以必然有 ．

②当 时，在区间（1， ）上，f′（x）是增函数，f′（x）＞f′（1）＝0；

在区间（ ，＋∞）上，f′（x）是减函数．依题意，必存在实数x0，使得在区间（ ，x0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；在区间（x0，＋∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．此时x0＞1，且x0是f（x）的极大值点．

所以f（x0）＞0，且f′（x0）＝0，即 消去a得到x0lnx0＋lnx0－2x0＞0（x0＞1）．

设F（x）＝xlnx＋lnx－2x（x＞1）， ．

∵ ，∴x＞1时，F′（x）单调递增．又F′（1）＝0，

∴x＞1时，F′（x）＞0．∴x＞1时，F（x）单调递增．

又F（1）＝－2＜0，F（e2）＝2＞0．∴存在x0＝e2＞1满足题意．

亦可直接观察得到，x0＝e2时，e2lne2＋lne2－2e2＝2＞0，满足题意．

【解析】（Ⅰ）先求得函数g（x）的导函数，对a进行分类讨论并分别判断函数g′（x）值大于零与小于零的区间，从而得到函数g（x）的单调区间;（Ⅱ）先函数f（x）零点存在的区间，再利用零点的存在区间确定a的取值范围，再结合零点的存在性得到满足题意的x0，对设出的F（x）求得最大值为0的情况，从而求出x0的具体值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．