Question

已知函数f(x)=

3

cos(2x-

π

3

)+sin(2x-

π

3

)，
（1）若f（x）=1，求实数x的解集；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的函数图象上的各点横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x），若g(x)=

6

5

，求cos(x+

π

6

)+cos(2x-

2π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=1求得sin2x=

1

2

，由此求得实数x的解集．
（2）利用同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为2sin2x，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，可得g（x）=2sin（x-

π

3

），由g（x）=

6

5

可得，sin(x-

π

3

)=

3

5

．再把要求的式子化为

-sin(x- π 3 )+1-2sin2(x- π 3 )

，运算求得结果．

解答：解：（1）由f（x）=2sin2x=1，可得sin2x=

1

2

，解得x=

π

12

+kπ，或x=

5π

12

+kπ，k∈Z，
故实数x的解集为{x|x=

π

12

+kπ，或x=

5π

12

+kπ}，k∈Z．
（2）∵函数f(x)=

3

cos(2x-

π

3

)+sin(2x-

π

3

)=2[

3

2

cos（2x-

π

3

）+

1

2

sin（2x-

π

3

）]
=2sin（2x-

π

3

+

π

3

）=2sin2x．
将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

）的图象，
再将得到的函数图象上的各点横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）=2sin[2•

1

2

•x-

π

3

）]=2sin（x-

π

3

）的图象，
由g（x）=

6

5

 可得，sin(x-

π

3

)=

3

5

，
∴cos(x+

π

6

)+cos(2x-

2π

3

)=

-sin(x+ π 6 - π 2 )+cos(2(x- π 3 ))=-sin(x- π 3 )+1-2sin2(x- π 3 )

=-

3

5

+1-2×

9

25

=-

8

25

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．