Question

12．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）单调区间以及 f（x）最小值．
（2）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈[0，+∞）），讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求得函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的最小值．
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数F（x）的单调性．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
∴0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，
∴x=$\frac{1}{e}$时，函数取得极小值，也是函数的最小值，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$•ln$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$；
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），F′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$（x＞0）．
①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$；
令F′（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上单调递增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上单调递减．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．