Question

2．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足$\frac{b-a}{c}=\frac{sinB-sinC}{sinB+sinA}$．
（1）求角A的值；
（2）若a，c，b成等差数列，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$\frac{b-a}{c}=\frac{b-c}{b+a}$，整理由余弦定理得cosA的值，结合A是内角，即可求A的值．
（2）由题意可得2c=a+b，由（1）可知，a²=b²+c²-bc，可得（2c-b）²=b²+c²-bc，整理得：3c²-3bc=0，解得：a=b=c，从而得解．

解答 解：（1）由正弦定理，得：$\frac{b-a}{c}=\frac{b-c}{b+a}$，
整理，得：a²=b²+c²-bc，…（4分）
由余弦定理，得：$cosA=\frac{1}{2}$，
∵A是△ABC的内角，
∴$A=\frac{π}{3}$；   …（7分）
（2）∵a，c，b成等差数列，
∴2c=a+b，
由（1）可知，a²=b²+c²-bc，
∴（2c-b）²=b²+c²-bc，整理，得：3c²-3bc=0，…（12分）
由c＞0，得b=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．…（14分）
（注：本题第二小问可以用角的化简来处理）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，等差数列的性质的综合应用，属于基本知识的考查．