Question

在几何体ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1.
（1）设平面ABE与平面ACD的交线为直线，求证：∥平面BCDE；
（2）设F是BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求几何体ABCDE的体积.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2.

试题分析：（1）根据两条直线同垂直于一个平面，这两条直线平行可得DC//EB，再有直线与平面平行的判定定理得出直线DC∥平面ABE，由于是平面ABE与平面ACD的交线，可得DC∥，又由直线与平面平行的判定定理∥平面BCDE．（2）先证AF⊥平面BCDE，再证FD⊥平面AFE，最后证明平面AFD⊥平面AFE．（3）由等体积公式求解，即.
【证】（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，
∴DC∥平面ABE，
平面ABE平面ACD，则DC∥，
又平面BCDE，CD平面BCDE，
所以∥平面BCDE．（4分）
【解】（2）在△DEF中，，由勾股定理知，
由DC⊥平面ABC，AF平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，
又∵DC∩BC=C，DC平面BCDE ，BC平面BCDE，
∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，又∵AF∩FE=F，∴FD⊥平面AFE，
又FD平面AFD，故平面AFD⊥平面AFE.（9分）
（3）==2．（13分）