Question

（2012•淮南二模）在数列{a_n}中，已知a_n≥1，a₁=1，且a_n+1-a_n=

2

an+1+an-1

，n∈N₊．
（1）记b_n=（a_n-

1

2

）²，n∈N₊，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）对?k∈N₊，是否总?m∈N₊使得a_n=k？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1-a_n=

2

an+1+an-1

，可得b_n+1-b_n=a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，进而可得数列{b_n}是等差数列；           
（2）求出b_n=

1

4

+2（n-1）=2n-

7

4

，根据b_n=（a_n-

1

2

）²，a_n≥1，即可求{a_n}的通项公式；
（3）设?k∈N₊，总?m∈N₊使得a_m=k，可建立等式，从而求得m=

k(k-1)+2

2

，而k（k-1）总为偶数且非负，由此可得结论

解答：（1）证明：∵a_n+1-a_n=

2

an+1+an-1

，
∴a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，
∴b_n+1-b_n=a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，
∵a₁=1，b₁=（a₁-

1

2

）²=

1

4

∴数列{b_n}是以

1

4

为首项，2为公差的等差数列；           
（2）解：由（1）得b_n=

1

4

+2（n-1）=2n-

7

4

，∴（a_n-

1

2

）²=2n-

7

4

∵a_n≥1，∴a_n=

1

2

+

2n- 7 4

；
（3）解：设?k∈N₊，总?m∈N₊使得a_m=k，即

1

2

+

2m- 7 4

=k
整理得m=

k(k-1)+2

2

，而k（k-1）总为偶数且非负，
故m=

k(k-1)+2

2

满足题意．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．