Question

平面α内有一个半圆，直径为AB，过A作SA⊥平面α，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影．

(1)求证：NH⊥SB．

(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？

(3)这个图形中有多少个直角三角形？

(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)连AM，BM．∵AB为已知圆的直径，如图所示． 　　∴AM⊥BM， 　　∵SA⊥平面α，MBα， 　　∴SA⊥MB． 　　∵AM∩SA＝A，∴BM⊥平面SAM． 　　∵AN平面SAM， 　　∴BM⊥AN． 　　∵AN⊥SM于N，BM∩SM＝M， 　　∴AN⊥平面SMB． 　　∵AH⊥SB于H，且NH是AH在平面SMB的射影 　　∴NH⊥SB． 　　(2)由(1)知，SA⊥平面AMB，BM⊥平面SAM．AN⊥平面SMB． 　　∵SB⊥AH且SB⊥HN． 　　∴SB⊥平面ANH． 　　∴图中共有4个线面垂直关系 　　(3)∵SA⊥平面AMB， 　　∴ΔSAB、ΔSAM均为直角三角形． 　　∵BM⊥平面SAM，∴ΔBMA，ΔBMS均为直角三角形． 　　∵AN⊥平面SMB．∴ΔANS、ΔANM、ΔANH均为直角三角形． 　　∵SB⊥平面AHN．∴ΔSHA、ΔBHA、ΔSHN均为直角三角形 　　综上所述，图中共有10个直角三角形． 　　(4)由SA⊥平面AMB知：SA⊥AM，SA⊥AB，SA⊥BM； 　　由BM⊥平面SAM知：BM⊥AM，BM⊥SM，BM⊥AN； 　　由AN⊥平面SMB知：AN⊥SM，AN⊥SB，AN⊥NH； 　　SB⊥平面AHN知：SB⊥AH，SB⊥HN； 　　综上所述，图中有11对互相垂直的直线． 　　解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力．