Question

20．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（λcosα，λsinα）（λ≠0），$\overrightarrow{OB}$=（-sinβ，cosβ），其中O为坐标原点．
（1）若α-β=$\frac{π}{6}$，且λ＜0，求向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角；
（2）若|$\overrightarrow{AB}$|≥2|$\overrightarrow{OB}$|对于任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设它们的夹角为θ，利用向量的数量积公式表示出cosθ，将已知条件代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角．
（2）利用向量模的坐标公式将已知条件转化为λ²-2λsin（α-β）+1≥4对任意的α，β恒成立，再结合正弦函数的有界性，建立关于λ的不等式组，解之可得满足条件的实数λ的取值范围

解答 解：（1）设它们的夹角为θ，∵向量$\overrightarrow{OA}$=（λcosα，λsinα）（λ≠0），$\overrightarrow{OB}$=（-sinβ，cosβ），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-λcosαsinβ+λsinαcosβ=λsin（α-β）=λsin$\frac{π}{6}$=$\frac{λ}{2}$，
|$\overrightarrow{OA}$|=|λ|=-λ，|$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB|}}$=$\frac{\frac{λ}{2}}{-λ×1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{2π}{3}$，
（2）∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{OA}$|²-2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1+λ²-2λsin（α-β），
∵|$\overrightarrow{AB}$|≥2|$\overrightarrow{OB}$|对于任意实数α，β都成立，
∴λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0对任意实数α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}-2λ-3≥0}\\{{λ}^{2}+2λ-3≥0}\end{array}\right.$
解得λ≤-3或λ≥3．

点评 本题综合了平面向量的数量积、和与差的三角函数以及不等式恒成立等知识点，属于难题．解题时应该注意等价转化和函数方程思想的运用．