Question

3．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-cos²x，x∈R．
（1）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式将函数f（x）进行化简，即可求出函数f（x）的单调增区间；
（2）根据向量关系求出结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）根据题意，由于函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-cos²x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ$-\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为[kπ$-\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
∵x∈[0，π]，
∴当k=0时，0≤x≤$\frac{π}{3}$，
当k=1时，$\frac{5π}{6}$≤x≤π，
故函数的增区间为：[0，$\frac{π}{3}$]，[$\frac{5π}{6}$，π]．
（2）根据题意，由于c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，
∴sin（2C$-\frac{π}{6}$）=1，
又-$\frac{π}{6}$＜2C$-\frac{π}{6}$＜2$π-\frac{π}{6}$，
∴当2C$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，得C=$\frac{π}{3}$．
∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，
∴1×sinB-2×sinA=0，
即sinB=2sinA，
由正弦定理得：b=2a．
由余弦定理得：$（\sqrt{3}）^{2}={a}^{2}+（2a）^{2}-2a•2a•cos\frac{π}{3}$，
化简得：（5a+3）（a-1）=0
∴a=1，b=2．
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，以及正弦定理余弦定理以及三角形面积公式的应用，综合考查学生运算能力．