Question

已知函数f（x）=

3

sin（π-ωx）-sin（

π

2

-ωx）（ω＞0）的图象上两相邻最高点的坐标分别为（

π

3

，2）和（

4π

3

，2）
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求

b-2c

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据图象上两相邻最高点的坐标求出函数的周期，利用周期公式求出ω的值即可；
（2）由（1）确定出的函数解析式，根据f（A）=2，求出A的度数，所求式子利用正弦定理化简，将A度数代入计算，利用和差化积公式变形为一个角的正弦函数，根据C的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可求出所求式子的范围．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin（π-ωx）-sin（

π

2

-ωx）=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），
根据题意得：T=π，即

2π

|ω|

=π，
∵ω＞0，∴ω=2；
（2）∵f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，即sin（2A-

π

6

）=1，
∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
则

b-2c

a

=

sinB-2sinC

sin π 3

=

2 3

3

[sin（

2π

3

-C）-2sinC]=2sin（

π

6

-C），
∵0＜C＜

2π

3

，∴-

π

2

＜

π

6

-C＜

π

6

，
∴-2＜2sin（

π

6

-C）＜1，
则

b-2c

a

的范围是（-2，1）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．