Question

16．在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB⊥AD，AB∥CD，点M是PC的中点．
（I）求证：MB∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N，使得DN⊥平面PBC？若存在，请求出$\frac{PN}{PB}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH，推导出四边形ABMH为平行四边形，由此能证明BM∥平面PAD．
（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，以O为原点，如图建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BC-D的余弦值．
（Ⅲ）设点N（x，y，z），且 $\frac{PN}{PB}=λ，λ∈[0，1]$，利用向量法求出在线段g（x）上不存在点N，使得DN⊥平面PBC．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．
因为 M为${x_1}=-\sqrt{2}$中点，所以 $HM∥CD，HM=\frac{1}{2}CD$．
因为$AB∥CD，AB=\frac{1}{2}CD$，所以AB∥HM且AB=HM．
所以四边形ABMH为平行四边形，
所以BM∥AH．
因为 BM?平面PAD，AH?平面PAD，
所以BM∥平面PAD．…..（4分）
解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO．
因为PA=PD，所以PO⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
取BC中点K，连结OK，则OK∥AB．
以O为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB=2，
则 $A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，4，0），D（-1，0，0），P（0，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BC}=（-2，2，0），\overrightarrow{PB}=（1，2，-\sqrt{3}）$．
平面BCD的法向量$\overrightarrow{OP}=（0，0，\sqrt{3}）$，
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{{n_{\;}}}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{{n_{\;}}}=0\\ \overrightarrow{PB}•\overrightarrow{{n_{\;}}}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=0\\ x+2y-\sqrt{3}z=0.\end{array}\right.$令x=1，则$\overrightarrow{{n_{\;}}}=（1，1，\sqrt{3}）$．
$cos＜\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{{n_{\;}}}＞=\frac{{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{n|}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
由图可知，二面角P-BC-D是锐二面角，
所以二面角P-BC-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…..（9分）
（Ⅲ）在线段PB上是不存在点N，使得DN⊥平面PBC．
设点N（x，y，z），且 $\frac{PN}{PB}=λ，λ∈[0，1]$，
则$\overrightarrow{PN}=λ\overrightarrow{PB}$，
所以$（x，y，z-\sqrt{3}）=λ（1，2，-\sqrt{3}）$．
则$\left\{\begin{array}{l}x=λ\\ y=2λ\\ z=\sqrt{3}-\sqrt{3}λ.\end{array}\right.$
所以$N（λ，2λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$，$\overrightarrow{DN}=（λ+1，2λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$．
若 DN⊥平面PBC，则$\overrightarrow{DN}∥\overrightarrow{{n_{\;}}}$，
即$λ+1=2λ=\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}}{{\sqrt{3}}}$，此方程无解，
所以在线段g（x）上不存在点N，使得DN⊥平面PBC．…..（14分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查使得线面垂直的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．