Question

2．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=$\frac{k}{x}$（k≠0）．定义函数h（x）=f（x）•g（x），且函数h（x）为定义域上的奇函数，f（0）=4，g（1）=1．
（1）当a=4时，h（x）=4x+$\frac{4}{x}$；
（2）若函数h（x）在区间（-3，-2）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，且0＜a＜$\frac{4}{3}$，则函数h（x）在区间[1，3]上的最大值为5；最小值为4．

Answer 1

分析 （1）由题意，a=4，c=4，k=1，h（x）=f（x）•g（x）=（4x²+bx+4）•$\frac{1}{x}$，利用函数h（x）为定义域上的奇函数可得b，即可求出h（x）；
（2）确定h（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间]1，2]上单调递减，[2，3]上单调递增，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，a=4，c=4，k=1，h（x）=f（x）•g（x）=（4x²+bx+4）•$\frac{1}{x}$，
∵函数h（x）为定义域上的奇函数，∴b=0，
∴h（x）=4x+$\frac{4}{x}$；
（2）h（x）=f（x）•g（x）=（ax²+4）•$\frac{1}{x}$=ax+$\frac{4}{x}$，
∵函数h（x）在区间（-3，-2）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，且0＜a＜$\frac{4}{3}$，
∴a=1，∴h（x）=x+$\frac{4}{x}$
∴h（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间]1，2]上单调递减，[2，3]上单调递增，
∴x=2时，h（x）取得最小值为4，x=1时，h（x）取得知最大值为5．
故答案为：4x+$\frac{4}{x}$；5，4．

点评 本题考查函数的性质，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键．