Question

一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是-x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a_n，则数列{a_n}的前n项和S_n=

 

；若x=1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T_n，则T_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a_n}的前n项和S_n
（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是-x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．

解答：解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a_n=2^n-1，
显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a_n}的前n项和
S_n=2ⁿ-1．
（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是-x，另一个是x+3．
第一次生成的数为“1”，
第二次生成的数为“-1、4”，
第三次生成的数为“1、2、-4、7”，
第四次生成的数为“-1、4、-2、5、4、-1、-7、10”
…
可观察出：
第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，
第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，
第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，
第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，
…
以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T_n，则T_n=
所以，应填上Tn=

1(n=1)    3(n=2) 4n-6(n≥3)

点评：本题主要考查数列求和以及求数列递推式的知识点，主要利用不完全归纳法，不完全归纳法是解决数列问题的常用方法，尤其是在解决选择题和填空题上．要认真观察分析其特征，然后归纳出规律，并用通项的代数式表示，还要注意验证．