Question

19．已知函数f（x）=e^x+a|x-1|．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）在区间[0，2]上的值域；
（Ⅱ）若f（x）≥0对一切实数x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，求出函数f（x）的表达式，和导数f′（x），判断函数的单调性和最值即可求出函数的值域．
（Ⅱ）将不等式恒成立，进行转化，构造函数求函数的导数，研究函数的极值即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=e^x+3|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+3-3x，}&{0≤x＜1}\\{{e}^{x}+3x-3，}&{1≤x≤2}\end{array}\right.$，
则函数的导数，当0＜x＜1时，f′（x）=e^x-3＜0，此时函数单调递减，
当1＜x＜2时，f′（x）=e^x+3＞0，此时函数单调递增，
∴函数的最小值为f（1）=e，
又f（0）=4，f（2）=e²+3，
则函数在[0，2]上的最大值为e²+3，
即函数的值域为[e，e²+3]．
（Ⅱ）当x=1时，f（1）=e＞0，对一切x≥0都恒成立，∴此时a为任意实数．
当x≠1时，f（x）≥0等价为e^x+a|x-1|≥0，
即a≥$\frac{-{e}^{x}}{|x-1|}$，设g（x）=$\frac{-{e}^{x}}{|x-1|}$，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{e}^{x}}{1-x}}&{x＞1}\\{\frac{{e}^{x}}{x-1}}&{0≤x＜1}\end{array}\right.$，
g′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{e}^{x}（2-x）}{（1-x）^{2}}}&{x＞1}\\{\frac{{e}^{x}（x-2）}{（x-1）^{2}}}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$
即g（x）在[0，1）上单调递减，则（1，2]上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
∴g（x）的极大值为g（2）=-e²，
∴a≥-e²，且a≥g（0）=-1，
综上a≥-1．

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．