Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；
②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．试解答下列问题：
（1）设c＞2，方程f（x）=2的根由小到大依次记为a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，试证明：数列a_2n-1+a_2n为等比数列；
（2）①是否存在常数c，使函数的所有极大值点均落在同一条直线上？若存在，试求出c的所有取值并写出直线方程；若不存在，试说明理由；②是否存在常数c，使函数的所有极大值点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上？若存在，试求出c的所有取值并写出抛物线方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用分类讨论的方法化简函数f（x），令f(x)=cn-2(1-|

x

2n-2

-3|)=2，1-|

x

2n-2

-3|=2c2-n≤1，从而n≥3，故

x

2n-2

-3=2c2-n-1或

x

2n-2

-3=1-2c2-n，当n≥3时，[2n-2(

2

c

)n-2]-[2n-1+2(

2

c

)n-2]=2n-1-4(

2

c

)n-2＞0，于是a₁+a₂=2²+2³，a₃+a₄=2³+2⁴，从而a_2n-1+a_2n=2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=12•2^n-1，n∈N^*．从而得出数列a_2n-1+a_2n构成以12为首项，2为公比的等比数列．
（2）记函数f(x)=cn-2(1-|

x

2n-2

-3|)．(2n-1≤x≤2n，n∈N*)的极大值点为p_n（x_n，y_n）．由kp2p1=kp2p3（k表示直线的斜率），得c=2或c=1．分别求出当c=2时的抛物线方程，以及当c=4，c=

2

时，抛物线方程即可．

解答：解：函数f（x）是一个分段函数．
当1≤x≤2时，2≤2x≤4，f(x)=

1

c

f(2x)=

1

c

(1-|2x-3|)；
当4≤x≤8时，2≤

x

2

≤4，f(x)=cf(

x

2

)=c(1-|

x

2

-3|)；
当2n-1≤x≤2n(n∈N*)时，f(x)=cn-2(1-|

x

2n-2

-3|)．
（1）令f(x)=cn-2(1-|

x

2n-2

-3|)=2，1-|

x

2n-2

-3|=2c2-n≤1，（2）
从而n≥3，故

x

2n-2

-3=2c2-n-1或

x

2n-2

-3=1-2c2-n，于是，x=2n-1+2(

2

c

)n-2或x=2n-2(

2

c

)n-2．
当n≥3时，[2n-2(

2

c

)n-2]-[2n-1+2(

2

c

)n-2]=2n-1-4(

2

c

)n-2＞0
故a1=22+2(

2

c

)，a2=23-2(

2

c

)，a3=23+2(

2

c

)2，a4=24-2(

2

c

)2，于是a₁+a₂=2²+2³，a₃+a₄=2³+2⁴，从而a_2n-1+a_2n=2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=12•2^n-1，n∈N^*．
故数列a_2n-1+a_2n构成以12为首项，2为公比的等比数列．（6分）
（2）记函数f(x)=cn-2(1-|

x

2n-2

-3|)．(2n-1≤x≤2n，n∈N*)的极大值点为p_n（x_n，y_n）．
令

xn

2n-2

-3=0，即x_n=3•2^n-2时，y_n=c^n-2，故p_n（3•2^n-2，c^n-2）．
分别令n=1，2，3得p1(

3

2

，

1

c

)，p₂（3，1），p₃（6，c）．
由kp2p1=kp2p3（k表示直线的斜率），得c=2或c=1．
当c=2时，y_n=2^n-2，x_n=3•2^n-2，所有极大值点均在直线y=

1

3

x上；
当c=1时，y_n=1对n∈N^*恒成立，此时极大值点均在直线y=1上．（10分）
以原点为顶点的抛物线方程可设为x²=py（p≠0）或y²=qx（q≠0）．
若p_n（3•2^n-2，c^n-2）．在抛物线x²=py（p≠0）上，则（3•2^n-2）²=pc^n-2，
即

9

p

=(

c

4

)n-2对n∈N^*恒成立，从而c=4，p=9，抛物线方程为x²=9y；
若p_n（3•2^n-2，c^n-2）．在抛物线y²=qx（q≠0）上，则（c^n-2）²=3q•2^n-2，
即3q=(

c

2

)n-2对n∈N^*恒成立，从而c=

2

，q=

1

3

，抛物线方程为y²=

1

3

x（14分）

点评：本小题主要考查抛物线的标准方程、利用导数研究函数的极值、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．