Question

6．姐图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足B₁P⊥D₁E，则点B₁和点P构成的图形是（　　）

• A． 三角形
• B． 四边形
• C． 曲边形
• D． 五边形

Answer 1

分析 根据题意，建立空间直角坐标系，设出点P的坐标，利用B₁P⊥D₁E得出$\overrightarrow{{B}_{1}P}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=0，得出x+2y-2z-1=0；
根据点P在正方体的表面上，讨论z=0与z=1以及x=0与x=1和y=0、y=1时，方程表示的图形是什么即可．

解答 解：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则D₁（0，0，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），B₁（1，1，1）；
设点P（x，y，z），
则$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=（x-1，y-1，z-1），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（$\frac{1}{2}$，1，-1）；
又B₁P⊥D₁E，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}P}$•$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$（x-1）+（y-1）-（z-1）=0，
即x+2y-2z-1=0；
又点P在正方体的表面上，
当z=0时，x+2y-1=0，是线段AM，点M（0，$\frac{1}{2}$，0）；
当z=1时，x+2y-3=0，是点B₁（1，1，1）；
当x=0时，2y-2z-1=0，是线段MN，点N（0，1，$\frac{1}{2}$）；
当x=1时，y-z=0，是线段AB₁；
当y=0时，x-2z-1=0，是点A（1，0，0）；
当y=1时，x-2z+1=0，是线段B₁N；如图所示，

则点B₁和点P构成的图形是四边形AB₁NM．
故选：B．

点评 本题考查了立体几何中的轨迹问题，考查了分析问题与解决问题的能力，解题的关键建立空间直角坐标系，确定点P所构成的轨迹，是中档题目．