Question

【题目】已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．

Answer 1

【答案】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，
令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．
因此ac+bd≤8．
【解析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用同角三角函数基本关系的运用和两角和与差的余弦公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握同角三角函数的基本关系：；;（3） 倒数关系：；两角和与差的余弦公式：．