【题目】如图,在四棱锥中,,,平面,点在棱上.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若直线平面,求此时三棱锥的体积.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
(I)先利用正弦定理以及三角形内角和定理证明,结合可得平面,由此能证明平面平面;(II)连结与交于点,连结 ,可证明,由=,由此能求出三棱推的体积.
(Ⅰ)因为AB⊥平面PAD,
所以AB⊥DP,
又因为,AP=2,∠PAD=60°,
由,可得,所以∠PDA=30°,
所以∠APD=90°,即DP⊥AP,
因为,所以DP⊥平面PAB,
因为,所以平面PAB⊥平面PCD
(Ⅱ)连结AC,与BD交于点N,连结MN,因为PA//平面MBD,
MN为平面PAC与平面MBD的交线,所以PA//MN,
所以,
在四边形ABCD中,因为AB//CD,所以,
所以,,.
因为AB⊥平面PAD,所以AB⊥AD,且平面APD⊥平面ABCD,
在平面PAD中,作PO⊥AD,则PO⊥平面ABCD,
因为,
所以
因为CD=3.所以,
所以.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)已知点,直线与曲线交于两点,且,求的值.
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【题目】圆锥(其中为顶点,为底面圆心)的侧面积与底面积的比是,则圆锥与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知椭圆的离心率为,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线与椭圆E相交于A,B两点,设P为椭圆E上一动点,且满足(O为坐标原点).当时,求的最小值.
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【题目】2020年寒假,因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习,为了研究学生网上学习的情况,某学校随机抽取名学生对线上教学进行调查,其中男生与女生的人数之比为,抽取的学生中男生有人对线上教学满意,女生中有名表示对线上教学不满意.
(1)完成列联表,并回答能否有的把握认为“对线上教学是否满意 与性别有关”;
态度 性别 | 满意 | 不满意 | 合计 |
男生 | |||
女生 | |||
合计 | 100 |
(2)从被调查的对线上教学满意的学生中,利用分层抽样抽取名学生,再在这名学生中抽取名学生,作线上学习的经验介绍,求其中抽取一名男生与一名女生的概率.
附:.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】某商店销售某海鲜,统计了春节前后50天该海鲜的需求量(,单位:公斤),其频率分布直方图如图所示,该海鲜每天进货1次,商店每销售1公斤可获利50元;若供大于求,剩余的削价处理,每处理1公斤亏损10元;若供不应求,可从其它商店调拨,销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤,商店的日利润为元.
(1)求商店日利润关于需求量的函数表达式;
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.
①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数;
②估计日利润在区间内的概率.
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【题目】某校周五的课程表设计中,要求安排8节课(上午4节下午4节),分别安排语文数学英语物理化学生物政治历史各一节,其中生物只能安排在第一节或最后一节,数学和英语在安排时必须相邻(注:上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻),则周五的课程顺序的编排方法共有( ).
A.4800种B.2400种C.1200种D.240种
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,点满足以为直径的圆过椭圆的上顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线过右焦点与椭圆交于两点,在轴上是否存在点使得为定值?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.
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