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(1)直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,证明:y1y2=-p2
(2)直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴,证明:直线AC经过原点.
解(1)1°当斜率不存在时,直线x=
p
2
.此时A(
p
2
,p),B(
p
2
,-p)
,y1y2=-p2
2°当斜率存在,设直线方程为:y=k(x-
p
2
)

y=k(x-
p
2
)
y2=2px
消元得:ky2-2py-kp2=0w所以   y1y2=-p2
综上所述y1y2=-p2
(2)1°当斜率不存在时,直线x=
p
2
,此时A(
p
2
,p),B(
p
2
,-p)
C(-
p
2
,-p)

所以直线AC的斜率为kAC=
-p-p
-
p
2
-
p
2
=2

所以直线AC的方程为y-p=2(x-
p
2
)?y=2x
直线经过原点
2°当斜率存在,设直线方程为:y=k(x-
p
2
)

A(
y12
2p
y1)
B(
y22
2p
y2)
C(-
p
2
y2)

y=k(x-
p
2
)
y2=2px

消元得:ky2-2py-kp2=0  y1y2=-p2;所以直线AC的斜率为kAC=
-
y21
2p
-y1
-
p
2
-
y21
2p
=
2p
y1

所以直线AC的方程:y-y1=
2p
y1
(x-
y21
2p
)?y=
2p
y1
x

所以直线经过原点.   
综上所述,直线经过原点
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在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的AB两点.

(1)如果直线l过抛物线的焦点,求·的值;

(2)如果·=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.

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