Question

17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，a=2，ccosB+bcosC=2acosB，则b的值为$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，可求sinB，结合正弦定理即可解得b的值．

解答 解：∵ccosB+bcosC=2acosB，
∴利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，
整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
则∠B=60°，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，a=2，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．