Question

19．求$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{1•3}$+$\frac{1}{3•5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$）的值．

Answer 1

分析 可运用裂项法，得到$\frac{1}{1•3}+\frac{1}{3•5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$，前后项抵消，然后再求极限即可．

解答 解：$\frac{1}{1•3}+\frac{1}{3•5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$；
∴$\underset{lim}{n→∞}（\frac{1}{1•3}+\frac{1}{3•5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}）$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}$．

点评 考查裂项法在化简数列求和中的运用，以及数列极限的定义及求法．