Question

7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-4）=-1，f（x）的导函数f′（x）≥0，若正数a，b满足f（a+2b）≤1，则当a+2b取得最大值时，$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由已知分析函数函数的单调性，结合f（x）是定义在R上的奇函数，f（-4）=-1，可得：f（4）=1，进而a+2b≤4，再由基本不等式可得答案．

解答 解：∵f（x）的导函数f′（x）≥0，
故f（x）在R上单调递增，
又由f（x）是定义在R上的奇函数，f（-4）=-1，
∴f（4）=1，
若正数a，b满足f（a+2b）≤1，
则a+2b≤4，
故$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）×$\frac{1}{4}$（a+2b）=（$\frac{b}{2a}$+$\frac{a}{2b}$）+$\frac{5}{4}$≥2$\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{a}{2b}}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，基本不等式，导数法确定函数的单调性，难度中档．