Question

已知函数f（x）=x-+1-alnx，a＞0
（1）a=1，求曲线在点A（1，f（1））处的切线方程　
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）设a=3，求f（x）在区间{1，e²}上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．

Answer 1

解：（1）f′（x）=1+-
f′（1）=2∴曲线在点A（1，f（1））处的切线方程y=2x-2 （3分）
（2）∵f′（x）=1+-
令t=，y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a2-8≤0，即：0＜a≤2 ，y≥0恒成立
∴函数f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函数
②①△=a2-8＞0，即：a＞2 ，y=0有两个根
由2t²-at+1＞0，或t＞
或x＜0或x＞
由2t²-at+1＜0，
∴
综上：①0＜a≤2 ，函数f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函数
②a＞2 函数f（x）在（-∞，0），上是增函数，在 上是减函数，
（3）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在[2，e²]上是增函数
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2＜0，f（e²）=e²-
∴f（x）在区间{1，e²}上值域是[2-3ln2，e²-]
分析：（1）先求导函数，然后求出在x=1处的导数，得到切线的斜率，最后利用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；
（2）先令t=，则y=2t²-at+1（t≠0），由求导可判断其单调性，要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复．
（3）由（2）所涉及的单调性来求在区间上的值域即可．
点评：本题主要考查函数的单调性及值域，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究值域时一定要先确定函数的单调性才能求解．