Question

如图所示,过抛物线y²=2px的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点.

(1)证明直线AB过定点;

(2)求△AOB面积的最小值.

Answer 1

解：(1)设直线AB的方程为y=k(x-a),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).联立方程

消去x得ky²-2py-2pak=0,

则y₁y₂=-2pa.又OA⊥OB.

∴y₁y₂=-x₁x₂.

由方程组消去y,得k²x²-(2k²a+2p)x+k²a²=0,则x₁·x₂=a².因此,a²=2pa.∴a=2p.

故直线AB过定点(2p,0).

(2)由(1)知:AB恒过定点M(2p,0).

∴S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=|OM|(|y₁|+|y₂|)≥p(2|).

又y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,

∴(y₁y₂)²=4p²x₁x₂.

又∵y₁y₂=-x₁x₂,

于是|y₁y₂|=4p².

故S_△AOB的最小值为4p².

绿色通道：

对于直线、曲线方程联立求解,灵活运用整体思想及韦达定理可简化解答;另外应注意图形的有效利用.