Question

18．阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．
阅读材料：
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．
对于函数y=$\frac{1}{x}$，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：
（1）在函数y=$\frac{1}{x}$中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．
（2）在函数y=$\frac{1}{x}$中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；
（3）在函数y=$\frac{1}{x}$中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（-∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；
（4）由函数y=$\frac{1}{x}$可知f（-x）=-f（x），即y=$\frac{1}{x}$是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．
结合以上性质，逐步才想出函数y=$\frac{1}{x}$对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．

Answer 1

分析 通过函数的定义域，函数与x的交点情况，y值的变化趋势，函数的奇偶性和函数的单调性，归纳函数的性质即可．

解答 解：（1）在y=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$中，x≠0，可以推测出：对应的图象不经过y轴，即与y轴不相交，
（2）令y=0，即x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，解得x=±1，可以推测出，对应的图象与x相交，交点坐标为（1，0）和（-1，0），
（3）在y=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$中，当0＜x＜1时，$\frac{1}{{x}^{2}}$＞1＞x²，则y＜0，当x＞1时，$\frac{1}{{x}^{2}}$＜1＜x²，则y＞0，可以推测出：对应的图象在区间（0，1）上图象在x轴的下方，在区间（1，+∞）上图象在x轴的上方，
（4）在y=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$中，若x∈（0，+∞），则
当x逐渐增大时$\frac{1}{{x}^{2}}$逐渐减小，x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$，逐渐增大，即y逐渐增大，所以原函数在（0，+∞）是增函数，
可以推测出：对应的图象越向右逐渐升高，是单调递增的趋势，
（5）由函数y=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$可知f（-x）=f（x），即函数为偶函数，可以推测出：对应的图象关于y轴对称

点评 本题考查了类比推理的问题，关键是掌握函数的性质，以及题目所告诉的例子，属于中档题．