Question

向量

a

=(sinωx+cosωx，1)，

b

=(f(x)，sinωx)，其中0＜ω＜1，且

a

∥

b

．将f（x）的图象沿x轴向左平移

π

4

个单位，沿y轴向下平移

1

2

个单位，得到g（x）的图象，已知g（x）的图象关于(

π

4

，0)对称．
（1）求ω的值；
（2）求g（x）在[0，4π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）通过

a

∥

b

推出函数f（x）的表达式，化简为 一个角的一个三角函数的形式，利用图象变换后关于(

π

4

，0)对称，求出ω的值．
（2）由（1）得到g（x），利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间，然后求出g（x）在[0，4π]上的单调递增区间．

解答：解：（1）因为

a

∥

b

，所以f（x）=sinωx（sinωx+cosωx）=sin²ωx+sinωxcosωx=

1

2

（1-cos2ωx）+

1

2

sin2ωx=

1

2

+

2

2

sin(2ωx-

π

4

)
而g（x）=

2

2

sin[2ω(x+

π

4

)-

π

4

]关于(

π

4

，0)对称，所以

2

2

sin[2ω(x+

π

4

)-

π

4

]=0，2ω(x+

π

4

)-

π

4

=kπ，k∈Z
∴ω=k+

1

4

，由k∈Z，0＜ω＜1得ω=

1

4

．
（2）g（x）=

2

2

sin (

x

2

-

π

8

)．由-

π

2

+2kπ≤ 

x

2

-

π

8

≤ 2kπ+

π

2

  k∈Z
得-

3π

4

+4kπ≤x≤

5π

4

+4kπ  k∈Z又x∈[0，4π]且k=0时，-

3π

4

≤x≤

5π

4

，k=1时

13π

4

≤x≤

21π

4

，
所以g（x）在[0，4π]上的单调递增区间为[0，

5π

4

]，[ 

13π

4

，4π]

点评：本题是中档题，考查向量的数量积，三角函数的化简求值，三角函数的图象的变换，正弦函数的单调性的应用，考查计算能力，常考题型．