Question

从点P₁（0，0）作x轴的垂线交曲线y=e^x于点Q₁（0，1），曲线在Q点处的切线与x轴交于点P₂．现从P₂作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程，可得到一系列点：P₁，Q₁，P₂，Q₂，…，则

n

i=1

|P_iQ_i|=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,等差数列与等比数列

分析：设出p_k-1的坐标，求出Q_k-1，利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令y=0得到x_k与x_k+1的关系．求出|P_iQ_i|的表达式，利用等比数列的前n项和公式求出和．

解答： 解：（Ⅰ）设P_k-1（x_k-1，0），
由y=e^x得Q_k-1（x_k-1，exk-1），
则点Q_k-1处切线方程为y-exk-1=exk-1（x-x_k-1），
由y=0得x_k=x_k-1-1（2≤k≤n）．
由于x₁=0，x_k-x_k-1=-1，得x_k=-（k-1），
则|P_iQ_i|=exi=e^-i+1，
故S_n=|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|
=1+e^-1+e^-2+…+e^-n+1
=

1-e-n

1-e-1

=

e-e1-n

e-1

，
故答案为：

e-e1-n

e-1

．

点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率、考查等比数列的通项和前n项和公式，考查运算能力，属于中档题．