Question

（2013•济南二模）已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G、H分别是CE、CF的中点．
（1）求证：平面AEF∥平面BDGH
（2）若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）平面AEF内两条相交直线EF与OG分别平行平面BDGH内的两条相交直线GH与OG，利用平面与平面平行的判定定理证明即可．
（2）取EF的中点N，建立空间直角坐标系，设AB=2，BF=t，求出B、C、F、H坐标，求出平面BDGH的一个法向量，平面ABCD的法向量，利用向量的数量积，结合二面角的大小，求出t，然后求出直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．

解答：解：（1）G、H分别是CE、CF的中点
所以EF∥GH--------①--------（1分）
连接AC与BD交与O，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点
连OG，OG是三角形ACE的中位线OG∥AE---------②-------3 分
由①②知，平面AEF∥平面BDGH--------------（4分）
（2）BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，所以BF⊥平面ABCD---------（5分）
取EF的中点N，ON∥BF∴ON⊥平面ABCD，
建系{

OB

，

OC

，

ON

}
设AB=2，BF=t，
则B(1，0，0)，C(0，

3

，0)，F(1，0，t)，H(

1

2

，

3

2

，

t

2

)---------------（6分）

OB

=(1，0，0)，

OH

=(

1

2

，

3

2

，

t

2

)
设平面BDGH的法向量为

n1

=(x，y，z)

n1 • OB =x=0 n1 • OH = 1 2 x+ 3 2 y+ t 2 z=0

，
所以

n1

=(0，-t，

3

)
平面ABCD的法向量

n2

=(0，0，1)---------------------------（9分）
|cos＜

n1

，

n2

＞|=

3

3+t2

=

1

2

，所以t²=9，t=3---------------（10分）
所以

CF

=(1，-

3

，3)，
设直线CF与平面BDGH所成的角为θ，
sinθ=|cos?

CF

，

n1

＞|=

6 3

13 ×2 3

=

3 13

13

-----------------（12分）

点评：本题考查空间向量求解二面角以及直线与平面所成角的求法，平面与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力的应用．