Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（＞b＞0），将圆心在原点O、半径是

a2+b2

的圆称为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的方程为

x2

3

+y²=1．
（Ⅰ）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，求l₁，l₂的方程；
（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与X轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求

AB

•

AD

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由准圆定义求出椭圆C的准圆方程，取x=0得到P点坐标，由题意可知l₁，l₂的斜率存在，设出过P点的直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求解直线的斜率，则l₁，l₂的方程可求；
（Ⅱ）由题意可知：B，D点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，设出B，D的坐标，代入椭圆方程后得到B点横纵坐标的关系，写出向量

AB

，

AD

的坐标，代入数量积公式后化为关于B点横坐标的函数关系式，由B点横坐标的范围求解

AB

•

AD

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由椭圆C的方程为

x2

3

+y²=1．
得其“准圆”方程为x²+y²=4．
则P点坐标为（0，2），∵直线l过P且与椭圆C只有一个交点，
则直线l的方程可设为y=kx+2，将其代入椭圆方程可得：
x²+3（kx+2）²=3，即（3k²+1）x²+12kx+9=0．
由△=（12k）²-36（3k²+1）=0，解得k=±1，
∴直线l₁ 的方程为y=x+2，l₂ 的方程为y=-x+2，
或直线l₁ 的方程为y=-x+2，l₂ 的方程为y=x+2；
（Ⅱ）如图，
由题意可设B（m，n），D（m，-n）（-

3

＜m＜

3

），
则有

m2

3

+n2=1，
又点A的坐标为（2，0），故

AB

=(m-2，n)，

AD

=(m-2，-n)．
故

AB

•

AD

=(m-2)2-n2=m2-4m+4-(1-

m2

3

)
=

4

3

m2-4m+3=

4

3

(m-

3

2

)2．
又-

3

＜m＜

3

，
故

4

3

(m-

3

2

)2∈[0，7+4

3

)．
∴

AB

•

AD

的取值范围是[0，7+4

3

）．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，方法是联立直线和圆锥曲线方程，利用整理后的一元二次方程的判别式求解．
此题属中高档题．