Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，E是棱PC的中点．
（Ⅰ）设点G在棱AB上，当点G在何处时，可使直线GE⊥平面PCD，并证明你的结论；
（Ⅱ）求直线AC与平面ADE所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先说明G为AB的中点；取AB和PD中点G、H，则GE∥AH，由题意先证明CD⊥平面PAD，再证AH⊥平面PCD，证出GE⊥平面PCD．
（Ⅱ）利用图形中的垂直条件建立坐标系，求出平面ADE的法向量，再用数量积求向量所成角的余弦值，即为所求角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）当G为AB中点时，GE⊥平面PCD，证明如下：
取PD的中点H，连EH，AH，GE．∵EH∥CD，EH=

1

2

CD，AG∥CD，AG=

1

2

CD，
∴AG∥CD，AG=CD，∴四边形AGEH为平行四边形．
∴GE∥AH∵在△PAD中，PA=AD，∴AH⊥PD，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD
∵AH?平面PAD，∴CD⊥AH，且PD∩CD=D，
∴AH⊥平面PCD，又∵GE∥AH，∴GE⊥平面PCD
（Ⅱ）如图，以A为原点，分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
∵E为PC的中点，∴E（1，1，1）

AE

=(1，1，1)，

AD

=(0，2，0)，

AC

=（2，2，0）；
设平面AED的一个法向量为

n

=（x，y，z）
则

AE • n =0 AD • n =0

，即

x+y+z=0 2y=0

，令x=1，得

n

=（1，0，-1），
设直线AC与平面AED所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=

1

2

；
∴设直线AC与平面AED所成的角为30°．

点评：本题考查了线线、线面平行和垂直的定理及定义的运用，用向量法求线面角；考查了推理论证能力、转化能力和运算求解能力．