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如图,在空间四面体S-ABC中,已知∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,AN⊥SB,AM⊥SC,证明:SC⊥平面AMN.

【答案】分析:由结论联想判定定理,要证明SC⊥平面AMN,需证明SC垂直于平面AMN中的两条相交直线.已知AM⊥SC,尚缺条件SC⊥AN.于是考虑从其它条件所具备的性质中去寻找.
解答:证明:∵SA⊥平面ABC,而AB为SB在平面ABC内的射影,
又由∠ABC=90°,知BC⊥AB,由三垂线定理,BC⊥SB,∴BC⊥平面SAB,
∵ANÌ平面SAB,∴BC⊥AN,∴AN⊥平面SBC,∴SC⊥AN,
∵AM⊥SC,∴SC⊥平面AMN.
点评:本题在运用判定定理证明线面垂直(SC⊥平面AMN)时,将问题化为利用定义证明线线垂直(SC⊥AN);而证明此线线垂直时,又转化为利用判定定理证明线面垂直(AN⊥平面SBC),又利用定义转化为证明BC⊥AN.
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科目:高中数学 来源: 题型:

225、如图,在空间四面体S-ABC中,已知∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,AN⊥SB,AM⊥SC,证明:SC⊥平面AMN.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC(如图1),若CE是∠ACB的平分线,则
AC
BC
=
AE
BE
.其证明过程如下:
作EG⊥AC于点G,EH⊥BC于点H,CF⊥AB于点F,
∵CE是∠ACB的平分线,
∴EG=EH.
又∵
AC
BC
=
AC•EG
BC•EH
=
S△AEC
S△BEC
AE
BE
=
AE•CF
BE•CF
=
S△AEC
S△BEC

AC
BC
=
AE
BE

(1)把上面结论推广到空间中:在四面体A-BCD中(如图2),平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面,类比三角形中的结论,你得到的相应空间的结论是
S△ACD
S△BCD
=
AE
BE
S△ACD
S△BCD
=
AE
BE

(2)证明你所得到的结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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