Question

已知圆C：x²+y²=5，及点A（1，-2），Q（0，4）．
（1）求过点A的圆的切线方程；
（2）如果P是圆C上一个动点，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，然后可得切线方程；
（2）设PQ中点M（x，y），则P（2x，2y-4），代入圆的方程即得线段PQ中点的轨迹方程．

解答：解：（1）设切线斜率为k，则切线方程为kx-y-k-2=0，所以

|2+k|

k2+1

=

5

，解得k=

1

2

，
所以切线方程为x-2y-5=0；
（2）：设PQ中点M（x，y），则P（2x，2y-4），代入圆C：x²+y²=5，得4x²+（2y-4）²=5．
线段PQ的中点M的轨迹方程：x²+（y-2）²=

5

4

．

点评：本题考查圆的切线方程，求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、相关点代入法、参数法，本题主要是利用直接法和相关点代入法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．相关点代入法  根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．