Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中点，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角E﹣BD﹣P大于60°，求四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中点， ∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．
∴AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，
∴PA⊥AB，∵AB∩BC=B，
∴PA⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，

设AP=t，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，t），
C（2，2，0），E（1，1， ），
=（﹣1，2，0）， =（﹣1，0，t）， =（0，1， ），
设平面BDP的法向量 =（x，y，z），
则 ，取y=1，得 =（2，1， ），
设平面BDE的法向量 =（a，b，c），
则 ，取b=1，得 =（2，1，﹣ ），
∵二面角E﹣BD﹣P大于60°，
∴|cos＜ ＞|= = ＜cos60°= ，
解得 ，
S四边形ABCD= =5，
∴四棱锥P﹣ABCD体积V= = ∈（ ， ）．
∴四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围是（ ， ）．
【解析】（Ⅰ）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，再由PA⊥AB，能证明PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．