Question

如图所示，某城市有南北街道和东西街道各n+1条，一邮递员从该城市西北角的邮局A出发，送信到东南角B地，要求所走路程最短．
（1）求该邮递员途径C地的概率f（n）；
（2）求证：2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3，（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）邮递员从该城市西北角的邮局A到达东南角B地，要求所走路程最短共有种不同的走法，其中途径C地的走法有2种走法，
所以邮递员途径C地的概率f（n）==•=．
（2）由2f（n）==1+，得[2f（n）]²ⁿ⁺¹=．
要证 n∈N^*时，2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3，
只要证 n∈N^* 时，2＜＜3，
因为 n∈N^* 时，2n+1∈N^*，且 2n+1≥3，
所以只要证 n∈N^* 时，且n≥3 时，2＜＜3．
由于n≥3 时，=+•+•+…+•＞+•=2，
且 =+•+•+…+•=2+•+•+…+•
=2+++…+＜2+++…+
＜2++++…+=2++++…+=3-＜3．
综上可得：2＜＜3 成立，即 2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3成立．
分析：（1）求得所走路程最短共有种不同的走法，其中途径C地的走法有2种走法，由此可得邮递员途径C地的概率f（n） 的值．
（2）由2f（n）==1+，得只要证且n≥3 时，2＜＜3 即可．利用放缩法证明 2＜，＜3，从而证明不等式成立．
点评：本题主要考查排列、组合以及二项式定理的应用，等可能事件的概率，用放缩法证明不等式，属于难题．