Question

已知△ABC与△DBC都是边长为

2 3

3

的等边三角形，且平面ABC⊥平面DBC，过点A作PA⊥平面ABC，且AP=2．
（Ⅰ）求证：PA∥平面DBC；
（Ⅱ）求直线PD与平面ABC所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC的中点O，连接DO，由等腰三角形三线合一的性质可得DO⊥BC，结合已知中平面ABC⊥平面DBC，PA⊥平面ABC，利用面面垂直的性质，及线面垂直的性质，可得DO∥PA，进而根据线面平行的判定定理，得到PA∥平面DBC；
（Ⅱ）由（I）中结论，可得D在平面ABC的射影是O，P在平面ABC的射影是A，过D作DM∥OA交PA于M，则∠PDM等于直线PD与平面ABC所成角，解三角形PDM即可得到答案．

解答：证明：（Ⅰ）取BC的中点O，连接DO，则DO⊥BC
又∵平面DBC⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC．
而AP⊥平面ABC，
∴DO∥PA，
又∵DO在平面DBC内，
∴PA∥平面DBC．
解：（Ⅱ）∵D在平面ABC的射影是O，P在平面ABC的射影是A，
∴DP在平面ABC的射影是OA，即直线PD与平面ABC所成角就是直线PD与直线OA所成的角，
过D作DM∥OA交PA于M，
由（Ⅰ）可知DO∥PA，
∴DM=OA=1，DO=MA=1?PM=1
∴cos∠PDM=

DM

PD

=

2

2

即∠PDM=45°

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是证得DO∥PA，（II）的关键是证得∠PDM等于直线PD与平面ABC所成角．