如图,已知矩形中,
,
,将矩形沿对角线
把
折起,使
移到
点,且
在平面
上的射影
恰好在
上.
(1)求证:;
(2)求证:平面平面
;
(3)求二面角的余弦值.
(1)详见解析;(2)详见解析;(3)二面角的余弦值
.
解析试题分析:(1)利用折叠后点在平面
内的射影点在棱
上得到
平面
,从而得到
,再结合
即可证明
平面
,进而证明
;(2)由(1)中的结论
平面
并结合平面与平面垂直的判定定理即可证明平面
平面
;(3)先作
,连接
,利用(1)中的结论
平面
得到
,于是得到
平面
,于是得到
为二面角
的平面角,然后在直角三角形
中计算
,进而确定二面角
的余弦值;另一种方法是利用空间向量法计算二面角
的余弦值.
试题解析:(1)在平面
上的射影
在
上,
平面
,
又平面
,
,
又,
,
平面
,
又平面
,
;
(2)四边形
是矩形,
,
由(1)知,
,
平面
,
又平面
,
平面
平面
;
(3)平面
,
,在
中,由
,
,得
,
,
过点作
,垂足为点
,连接
,
由平面
,
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四边形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线AM与直线PC所成的角为60°.
(1)求证:PC⊥AC;
(2)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值;
(3)求点B到平面MAC的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD^底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF^PB交PB于点F,
(1)求证:PA//平面EDB;
(2)求证:PB^平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO为四棱锥P﹣ABCD的高,且,E、F分别是BC、AP的中点.
(1)求证:EF∥平面PCD;
(2)求三棱锥F﹣PCD的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆周上的一点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(6分)
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.(6分)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,几何体中,四边形
为菱形,
,
,面
∥面
,
、
、
都垂直于面
,且
,
为
的中点,
为
的中点.
(1)求几何体的体积;
(2)求证:为等腰直角三角形;
(3)求二面角的大小.
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