Question

（2012•虹口区三模）函数y=2^x和y=x³的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（1）设曲线C₁，C₂分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C₁，C₂对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]-g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；
（2）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由题意，C₁对应的函数为f（x）=x³，C₂对应的函数为g（x）=2^x ，不等式kf[g（x）]-g（x）＜0，等价于k•2^3x＜2^x，利用分离参数法，可求k的取值范围；
（2）令φ（x）=g（x）-f（x）=2^x-x³，则x₁，x₂为函数φ（x）的零点，根据零点存在定理，可得两个零点x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），由此可得a，b的值．

解答：解：（1）由题意，C₁对应的函数为f（x）=x³，C₂对应的函数为g（x）=2^x
不等式kf[g（x）]-g（x）＜0，等价于k•2^3x＜2^x，则k＜4^-x对任意x∈（0，1）恒成立（4分）
∵4-x∈(

1

4

，1)，∴k≤

1

4

（2）令φ（x）=g（x）-f（x）=2^x-x³，则x₁，x₂为函数φ（x）的零点，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=-4＜0，φ（9）=2⁹-9³＜0，φ（10）=2¹⁰-10³＞0，
则方程φ（x）=f（x）-g（x）的两个零点x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），
因此整数a=1，b=9．

点评：本题考查函数的图象与解析式，考查函数的零点，正确运用零点存在定理是关键．