Question

1．已知等差数列{a_n}的前n和为S_n，且a₅=S₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，设数列{b_n}前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a_n=a₁+（n-1）d，${S_n}=n{a_1}+\frac{1}{2}n（n-1）d$，
且a₅=S₃=9，得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+4d=9\\ 3{a_1}+3d=9\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，
∴${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$1-\frac{1}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．