Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n-+1=2（1+

1

n

）²a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，试推断是否存在常数A、B、C，使对于一切n∈N^*都有a_n=b_n+1-b_n成立？若存在，求出A，B，C的值；若不存在，说明理由．
（3）求：

n

n=1

a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到数列{

an

n2

}是公比为2的等比数列，求其通项公式后得答案；
（2）求出b_n+1-b_n，由对于一切n∈N^*都有a_n=b_n+1-b_n成立比较系数求得A，B，C的值；
（3）直接利用a_n=b_n+1-b_n裂项相消求得

n

n=1

a_n．

解答： 解：（1）由a_n-+1=2（1+

1

n

）²a_n=

2(n+1)2

n2

an，得

an+1

(n+1)2

=2

an

n2

，
∴数列{

an

n2

}是公比为2的等比数列．
首项a₁=2，
∴

an

n2

=2n，即an=2n•n2；
（2）∵b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，
∴b_n+1-b_n=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ，
由对于一切n∈N^*都有a_n=b_n+1-b_n成立，得

A=1 4A+B=0 2A+2B+C=0

，解得A=1，B=-4，C=6；
（3）

n

n=1

a_n=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n+1-b_n）
=bn+1-b1=(n2-2n+3)•2n+1-6．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了比较系数法求函数解析式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．