Question

已知向量

a

=(cos(2x-

π

3

)，cos(

π

4

+x))，

b

=(1，-2sin(

π

4

+x))，f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若A为等腰三角形ABC的一个底角，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量数量积的公式和两角和公式化简整理求得函数f（x）的解析式，进而根据三角函数的周期公式求得答案．
（Ⅱ）根据A的范围，求得2A-

π

6

的范围，进而求得sin（2A-

π

6

）的范围，最后求得函数f（x）的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=cos(2x-

π

3

)-2sin(

π

4

+x)cos(

π

4

+x)
=cos(2x-

π

3

)-sin(

π

2

+2x)=cos(2x-

π

3

)-cos2x
=cos2x•cos

π

3

+sin2x•sin

π

3

-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin(2x-

π

6

)，
∴最小正周期T=π．
（Ⅱ）∵A为等腰三角形ABC的一个底角，
∴0＜A＜

π

2

，
∴0＜2A＜π，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，即-

1

2

＜f(A)≤1．
∴f（A）的取值范围为（-

1

2

，1]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，诱导公式，平面向量的运算，三角函数图象和性质等知识．