Question

【题目】设直线与直线分别与椭圆交于点，且四边形的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一点作椭圆的切线，设直线与椭圆相较于，两点，为坐标原点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

联立直线AB与椭圆的方程，解出x与y，由椭圆的对称性可知四边形ACBD为矩形，进而表示出矩形ACBD的面积为，从而得解；

分类讨论，当直线l的斜率不存在，此时点P为椭圆的左或右顶点，易求得和，所以；

当直线l的斜率存在，设其方程为，点P的坐标为，M、N的坐标分别为，，两次联立直线与椭圆，分别可得到关于x的一元二次方程，结合直线l与椭圆相切，可得及，结合弦长公式，可得，然后作比，即可求得取值范围．

由，解得，，

由椭圆的对称性可知，四边形ACBD为矩形，且其面积，，

故椭圆的方程为．

当直线l的斜率不存在时，点P为椭圆的左或右顶点，其坐标为，

不妨取左顶点，即，此时，且直线l与x轴垂直，将代入得，，，

所以；

当直线l的斜率存在时，设其方程为，点P的坐标为，M、N的坐标分别为，，

联立，得，

直线l与椭圆相切，，

化简整理得，，

由韦达定理知，，

，

联立，得，

由韦达定理知，，

，

，当且仅当时，等号成立，

综上所述，的取值范围为．