Question

【题目】已知函数f（x）对于x，y∈R．
（1）若f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，当x＞0时，f（x）＞1且f（3）=4，
①求f（x）的单调性；
②f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．
（2）若f（x）+f（y）=2f（）f（），f（0）≠0，且存在非零常数c，使f（c）=0．
①判断f（x）的奇偶性并证明；
②求证f（x）为周期函数并求出f（x）的一个周期．

Answer 1

【答案】证明：（1）①任取x1 ， x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2 ，
则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞1，
则f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1），
故f（x）为R上的增函数；
②∵f（x）为R上的增函数，
∴f（x）在[1，2]上为增函数，
则函数的最大值为f（2），最小值为f（1），
∵f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，
∴f（2）=f（1）+f（1）﹣1=2f（1）﹣1，
f（3）=f（1）+f（2）﹣1=f（1）+2（1）﹣1﹣1=3f（1）﹣2=4，
即3f（1）=6，则f（1）=2，
f（2）=2f（1）﹣1=2×2﹣1=4﹣1=3，
即函数在[1，2]上的最大值为f（2）=3，最小值为f（1）=2．
（2）①∵任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=，令x=y=0，
∴2f（0）=2f（0）f（0），
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
令y=﹣x，可得f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x），
有f（﹣x）=f（x），
则f（x）为偶函数、
②∵f（2c+x）+f（x）=，
∵f（c）=0，∴f（2c+x）+f（x）=0，
即f（2c+x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣f（2c+x）=﹣[﹣f（2c+（2c+x））]=f（4c+x），
∴f（x）的周期为4c．
【解析】（1）①根据函数单调性的定义，结合抽象函数的关系进行证明．②利用函数的单调性的定义和最值之间的关系进行求解即可．
（2）①令x=0，y=0，并代入有 ， 即可求出f（0）的值；令y=﹣x，代入求得f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x），即可证得结果；
②根据存在非零常数c，使f（c）=0及周期函数的定义得到f（2c+x）+f（x）==0，再验证f（4c+x）=f（x）即可证明结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)．