Question

如图，椭圆C：的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，|A₁B₁|=，
S₌2S
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，且，是否存在上述直线l使=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由知   
           a²+b²=7，                                      ①
由 S=2S知
            a=2c，                                          ②
又      b²=a²﹣c²                                        ③
由 ①②③解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）
若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足，直线l的方程不存在．
若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且
得，即m²=k²+1                       ④
∵，，得知
OA⊥OB
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
由得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²﹣12=0，
，，
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=，
代入x₁x₂+y₁y₂=0中得
7m²﹣12k²﹣12=0．                      ⑤
由④⑤可知无解．所以此时l不存在．成立．