Question

（2012•韶关一模）已知函数f（x）=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2ωx+

π

6

），由此求得f（

π

3

）的值．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出函数f（x）的单调递增区间．由 2x+

π

6

=kπ+

π

2

求得 x的值，从而得到f（x）图象的对称轴方程．

解答：解：（1）函数f（x）=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-1=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
因为f（x）最小正周期为π，所以

2π

2ω

=π，解得ω=1，
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

），f（

π

3

）=2sin

5π

6

=1．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．  
由 2x+

π

6

=kπ+

π

2

可得 x=

1

2

kπ+

π

6

，k∈z．
所以，f（x）图象的对称轴方程为x=

1

2

kπ+

π

6

，k∈z．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．