Question

已知f（x）=(1+

2

x-1

)-2(x＞1)．
（1）求函数f（x）的反函数f^-1（x）的解析式及其定义域；
（2）判断函数f^-1（x）在其定义域上的单调性并加以证明；
（3）若当x∈(

1

16

，

1

4

]时，不等式(1-

x

)．f-1(x)＞a(a-

x

)恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将x，y互换，解得y即可．
（2）用单调性定义证明，先任取两变量，界定大小，再作差变形看符号．
（3）将反函数代入，整理为不等式

x

(1+a)＞a2-1恒成立求解，注意讨论．

解答：解：（1）令y=x，则有x=(1+

2

y-1

)-2
解得：f-1(x)=

1+ x

1- x

(x∈(0，1))；（4分）
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则f-1(x1)-f-1(x2)=

1+ x1

1- x1

-

1+ x2

1- x2

=

2( x1 - x2 )

(1- x1 )(1- x2 )

=

2( x1 - x2 )( x1 + x2 )

(1- x1 )(1- x2 )( x1 + x2 )

=

2(x1-x2)

(1- x1 )(1- x2 )( x1 + x2 )

由0＜x₁＜x₂＜1，有所以f^-1（x₁）-f^-1（x₂）＜0，即函数f^-1（x）在其定义域上的单调递增．（8分）
（3）当x∈(

1

16

，

1

4

]时，不等式(1-

x

)．f-1(x)＞a(a-

x

)恒成立，
即不等式

x

(1+a)＞a2-1恒成立
当1+a＞0即a＞-1时，原命题等价于a＜

x

+1恒成立，由x∈(

1

16

，

1

4

]
所以a≤

5

4

，从而得-1＜a≤

5

4

当1+a=0即a=-1时，不等式

x

(1+a)＞a2-1不成立
当1+a＜0即a＜-1时，原命题等价于a＞

x

+1恒成立，
由x∈(

1

16

，

1

4

]所以a＞

3

2

，又a＜-1，所以a不存在．综上可得：-1＜a≤

5

4

．（12分）

点评：本题主要考查如何求函数的反函数，单调性定义证明及不等式恒成立问题．