Question

已知函数f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据最值求出A，其图象相邻两对称轴间的距离为2，求出周期，确定ω，过点（1，2）求φ；
（Ⅱ）法一：根据函数的正确化简f（1）+f（2）+…+f（2008）．然后求出它的值即可．
法二：利用三角函数的平方关系，求出一个周期内的f（1）+f（3），f（2）+f（4）的值，然后求出表达式的值．

解答：解：（Ⅰ）y=Asin2(ωx+φ)=

A

2

-

A

2

cos(2ωx+2φ)．
∵y=f（x）的最大值为2，A＞0．
∴

A

2

+

A

2

=2，A=2．
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，
∴

1

2

(

2π

2ω

)=2，ω=

π

4

．
∴f(x)=

2

2

-

2

2

cos(

π

2

x+2φ)=1-cos(

π

2

x+2φ)．
∵y=f（x）过（1，2）点，∴cos(

π

2

x+2φ)=-1．
∴

π

2

x+2φ=2kπ+π，k∈Z，∴2φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=kπ+

π

4

，k∈Z，
又∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．

（Ⅱ）解法一：∵φ=

π

4

，f(x)=2sin2(

π

4

x+

π

4

)
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．
又∵y=f（x）的周期为4，2008=4×502，
∴f（1）+f（2）+…+f（2008）=4×502=2008．
解法二：∵f(x)=2sin2(

π

4

x+φ)
∴f(1)+f(3)=2sin2(

π

4

+φ)+2sin2(

3π

4

+φ)=2，f(2)+f(4)=2sin2(

π

2

+φ)+2sin2(π+φ)=2，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4．
又（±2，0）的周期为4，2008=4×502，
∴f（1）+f（2）+…+f（2008）=4×502=2008．

点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，通过题目条件，正确求出函数的表达式，挖掘条件，利用周期正确解答是解好三角函数题目的关键，本题考查计算能力，是基础题．